Темы исследований
Деятельность лаборатории посвящена разработке новых математических и компьютерных методов исследования моделей естествознания, актуальных и перспективных для развития высоких технологий, активно изучающихся в мировой науке.
Направления исследований
- Исследование параболических задач (в том числе, для псевдодифференциальных уравнений), построение различных представлений для фундаментальных решений и решений задачи Коши.
- Разработка методов обоснования асимптотических решений в пространствах с экспоненциальным весом (задачи о больших уплотнениях в теории случайных процессов).
- Методы решения задач квантовой теории и теории случайных процессов на сетках путем сведения их к псевдодифференциальным уравнениям, построения и обоснования асимптотических решений.
- Разработка новых методов численного решения задач типа Соболева, возникающих при моделировании процессов в микроэлектронике.
- Теоретическое моделирование квантовых и коллективных явлений в низкоразмерных материалах и наноструктурах.
● Продемонстрирована чрезвычайно высокая чувствительность бозе-эйнштейновского конденсата экситонных поляритонов в оптическом резонаторе из органического полимера, достигающая фундаментального предела: попадание даже единственного фотона в резонатор приводит к заметному усилению идущего из него люминесцентного излучения.
● Предложено новое математическое описание квантового состояния многочастичной системы экситонных поляритонов – гибридных возбуждений света и вещества, – основанное на рекуррентных соотношениях, выводимых из условия приближенного сохранения числа поляритонов. Такое описание дает возможность моделировать динамику поляритонной системы, установление в ней теплового равновесия и бозе-эйнштейновской конденсации, рассчитывать спектр люминесцентного излучения и его оптическую когерентность.
● Предсказан эффект Андреева-Башкина, или сверхтекучий эффект увлечения, между сверхтекучим бозе-эйнштейновским конденсатом экситонных поляритонов в микрополости и сверхпроводящим двумерным электронным газом.
● Построена теория Хартри-Фока-Боголюбова для бозе-эйнштейновской конденсации экситонных поляритонов при конечной температуре, объясняющая наблюдаемые в экспериментах отклонения скорости квазичастиц от предсказаний стандартной теории Боголюбова.
● Предсказаны необычные квантовые состояния псевдомагнитоэкситонов – связанных пар электронов и дырок, возникающих в слое графена, подвергнутом механическому растяжению, при котором на электроны и дырки действует аналог магнитного поля.
● Продемонстрирована возможность установления квантовой запутанности между двумя или тремя кубитами, взаимодействующих с одной и той же электромагнитной модой, за счет утечки фотонов – сугубо диссипативного процесса.
● Исследована немарковская квантовая динамика систем спинов, кубитов и экситонных поляритонов, взаимодействующих с тепловым резервуаром, обладающим собственной запаздывающей квантовой динамикой. Показано, что немарковские эффекты могут кардинально менять динамику бозе-эйнштейновского конденсата экситонов: например, возможно установление нелинейных релаксационных колебаний или полностью хаотической динамики.
● Получена обобщенная теорема вириала для безмассовых дираковских электронов (таких, как электроны в графене или топологических вейлевских полуметаллах), связывающая между собой среднюю кинетическую энергию электронов, энергию их кулоновского взаимодействия и давление электронного газа на границе. Продемонстрирована связь теоремы вириала с особенностями поведения волновой функции вблизи границы материала.
-
Методы квазиклассического приближения для разностных и дифференциальных уравнений.
● Развивается подход о применении методов квазиклассических приближений для решений разностных и дифференциальных уравнений.
● Построены равномерные квазиклассические асимптотики решений разностного уравнения второго порядка при больших значениях аргумента. Доказанная теорема была применена для построения равномерных асимптотик многочленов Лагерра при больших значениях аргумента и порядка многочлена, что обобщило область применения известных асимптотик многочленов Лагерра, построенных на отрезке.
● Построены осциллирующие квазиклассические асимптотики туннельного расщепления верхних и нижних энергетических уровней спектра квадратичных операторов на алгебре Ли su(1,1).
- Структурно-сетевой анализ имеющихся данных по коннектому и транскриптому человека, в том числе разработка новых методов анализа, основанных на спектральных характеристиках; фазовые переходы и критические явления в экспоненциальных и геометрических графах, применение моделей к описанию данных.
● Численное и аналитическое описание локализации Андерсона в частично неупорядоченных случайно-регулярных графах.
● Определение k-клик перколяции в структурных коннектомах человека и построение моделей, воспроизводящих наблюдаемые особенности.
● Разработка новых методов определения кластеров в генно-регуляторных сетях человека.
- Алгебраические методы исследования квантовых моделей с некоммутативными алгебрами симметрий.
Исследование направлено на изучение нелиевских алгебр с конечным числом образующих, описание их неприводимых представлений и построение спектральной теории этих алгебр.
С алгебраической точки зрения основными являются два вопроса: во-первых, как построить когерентные состояния и соответствующие неприводимые представления таких алгебр; во-вторых, как связать эти квантовые представления с некоторыми классическими симплектическими листами в пуассоновом многообразии. Дополнительной задачей является установление связи между неприводимыми представлениями, когерентными состояниями и возникающими при их построении специальными функциями.
С физической точки зрения главной задачей исследования является изучение алгебр, возникающих естественным образом (как алгебры симметрий) в различных квантово-механических моделях. Неприводимые представления и когерентные состояния этих алгебр играют решающую роль в спектральном анализе квантовых задач. Здесь развивается алгебраический подход, состоящий в последовательном применении методов операторного усреднения и когерентного преобразования. Этот подход становится ключевым для исследования квантовых моделей с сильным вырождением спектра старшей части оператора (например, за счет резонанса), поскольку стандартная теория возмущений здесь не работает.
В последнее время в рамках этого направления исследований наметился новый подход к решению спектральных задач с непрерывным спектром. Для обобщенных собственных функций таких задач предложено новое интегральное представление через когерентные распределения. Такие распределения обладают всеми ключевыми свойствами когерентных состояний, но не имеют конечной нормы в гильбертовом пространстве. Показано, что они лучше «работают» в задачах, связанных с непрерывным спектром операторов, чем обычные когерентные состояния.
- Гидродинамические многомасштабные задачи обтекания с двухпалубной структурой пограничного слоя.
Один из последних результатов - моделирование трехмерной задачи обтекания малой локализованной неровности.
Архив тематик прошлых лет
Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.