Научный семинар "Перспективные математические технологии"

Руководитель семинара: заведующий лабораторией В. Г. Данилов

Научный секретарь семинара: Р. К. Гайдуков

Подписка на уведомления о планируемых докладах 

Цель семинара: ознакомление студентов с тематикой и основными задачами, решаемыми в лаборатории, а также с новыми направлениями и методами математического моделирования.

 

---

Заседания семинара в весеннем семестре 2024 года:

• "Математические модели вытеснения нефти суспензиями" (А.М. Мейрманов, профессор Евразийского национального университета им. Л. Н. Гумилева , Казахстан) 24.04.2024 в 614 ауд.

Математические модели нефтяного резервуара важны как с теоретической, так и с практической точек зрения. На сегодняшний день одной из самых популярных таких моделей является Модель Баклея - Леверетта. Может быть следующей такой моделью является Задача Маскета. Каждая из этих моделей является Феноменологической математической моделью. То есть, описывает физический процесс на Макроскопическом уровне, где характерный размер рассматриваемой области составляет десятки метров. Термин Феноменологический означает, что данная модель есть некоторый набор аксиом (постулатов), предложенных авторами модели, как-то описывающих данный физический процесс. В настоящем докладе мы рассмотрим существующие феноменологические математические модели, покажем, почему они неадекватно описывают рассматриваемый физический процесс и выведем корректные микроскопические и, как усреднение первых, макроскопические модели вытеснения нефти суспензией и обсудим некоторые числовые реализации макроскопических моделей. Мы следуем постулатам, независимо предложенными E. Sanchez-Palencia и J. Keller&R. Burridge в 1980 году.  Эти постулаты базируются на аксиомах Ньютоновской механики сплошных сред и проверены на практике в течении нескольких столетий.

---

Заседания семинара в осеннем семестре 2023 года:

• "Регуляризованные системы уравнений движения многокомпонентных сжимаемых газовых смесей и их разностные аппроксимации" (А.С. Федченко, 29.11.2023, 17-00,  онлайн в zoom) 

Уравнения динамики смесей вязких сжимаемых газов представляют большой прикладной и теоретический интерес, поскольку описывают течения, широко распространенные в природе и технике. Квазигазодинамические (КГД) и квазигидродинамические (КГидД) системы уравнений являются регуляризованными системами уравнений Эйлера и Навье-Стокса вязкого сжимаемого теплопроводного газа и применяются для компьютерного моделирования широкого круга задач газовой динамики. В докладе будут представлены результаты анализа КГД и КГидД систем уравнений многокомпонентных гомогенных газовых смесей, включая уравнения баланса энтропии с неотрицательным производством энтропии при наличии потоков диффузии, свойства L²- диссипативности линеаризованных систем уравнений, установлены типы этих систем дифференциальных уравнений и локальная по времени классическая однозначная разрешимость задачи Коши для КГД системы. Также будут построены энтропийно корректные пространственные дискретизации различных одномерных КГД и КГидД систем уравнений. 

---

Заседания семинара в весеннем семестре 2023 года:

• "Когерентные состояния для квантовых моделей с нелиевскими алгебрами симметрий" (Е. М. Новикова, 22.03.2023, 18-00,  онлайн в zoom) 

Обсуждаются квантовые модели, в которых алгебры с  нелиевскими коммутационными соотношениями возникают естественным образом - как алгебры симметрий. В спектральном анализе соответствующих квантовых задач решающую роль играют неприводимые представления и когерентные состояния этих алгебр. Для некоторых классов алгебр с нелиевскими коммутационными соотношениями приводится конструкция неприводимых представлений и когерентных состояний, а также воспроизводящих ядер пространств неприводимых представлений и воспроизводящих мер. Устанавливается соответствие между перечисленными квантовыми объектами и классическими симплектическими листами соответствующих пуассоновых алгебр. Для квантовых моделей с сильным вырождением спектра старшей части, например, за счет резонанса, когда стандартная теория возмущений не работает, демонстрируется алгебраический подход к решению спектральных задач, состоящий в последовательном применении методов операторного усреднения и когерентного преобразования. Для решения спектральной задачи с непрерывным спектром строится интегральное когерентное преобразование, в котором ядром является не семейство когерентных состояний, а семейство когерентных распределений, обладающее всеми ключевыми свойствами когерентных состояний.

• "Сингулярное и гиперболическое сингулярное разложения при исследовании уравнений Янга - Миллса" (Дмитрий Широков, 18.01.2023, 18-00, онлайн в zoom) 

Представлены классификация и явный вид всех постоянных решений уравнений Янга - Миллса с SU(2) калибровочной симметрией для произвольного неабелева тока в произвольном евклидовом пространстве. Используются метод сингулярного разложения (SVD) и двулистное накрытие ортогональной группы спинорной группой. С помощью обобщения гиперболического сингулярного разложения решается аналогичная задача в псевдоевклидовом пространстве произвольной размерности и сигнатуры.

---

Заседания семинара в осеннем семестре 2022 года:

• "Нелинейная динамика и гиперхаос в двух биофизических моделях связанных нелинейных осцилляторов" (Иван Гаращук, 14.12.2022, 17-30, онлайн в zoom) 

  Доклад посвящён изучению динамики в двух нелинейных моделях, возникающих в биофизических приложениях. Первая модель описывает осцилляции инкапсулированных газовых пузырьков в жидкости, взаимодействующих посредством акустических волн. Изучено разнообразие динамических режимов в интересующих областях управляющих параметров, и описаны бифуркационные сценарии появления типичных режимов динамики. Предложено два феноменологических сценария возникновения гиперхаотических аттракторов, найденных в данной модели. Вторая модель описывает биологические нейроны, моделируемые системой Хиндмарш-Роуза, взаимодействующие через электрическую связь. В системе из двух взаимодействующих нейронов найдены области устойчивости синхронных режимов, а также новый асинхронный хаотических режим и сценарий его появления. Установлены области бистабильности. Также, изучалась возбудимость системы из двух нейронов и её реакция на внешний сигнал, создаваемый отдельным нейроном.

•  "Квазиклассическое приближение и осреднение для спиновых систем" (Александр Булеков, 19.10.2022, 18-30, онлайн в zoom) 

В работе рассмотрено 4 спиновых системы. Для моделей Кюри - Вейса и Кюри - Вейса - Гейзенберга получены операторы в полном пространстве спаренных спинов. Исследовано фазовое пространство для максимального магнитного момента. Для первой из них численно оценена точность асисптотики спектра. Для модели Mn12 получена структура полного пространства, оценена применимость квантового метода осреднения, найден эффективный гамильтониан для максимального магнитного момента. Рассмотрен кластер Ni4 как удобная модель для валидации результатов.

 

 

---

Заседания семинара в весеннем семестре 2022 года:

• "Новые представления канонического оператора Маслова с комплексными фазами и приложения" (Александр Клевин (ИПМех РАН), 07.07.2022, 18-00, онлайн в zoom)

Канонический оператор Маслова с комплексными фазами (теория комплексного ростка) позволяет строить асимптотические решения широкого класса линейных  (псевдо)дифференциальных уравнений в частных производных с малым параметром в виде осциллирующих функций, локализованных в окрестности поверхностей различных размерностей, меньших размерности исходной задачи (например, асимптотики в виде гауссовых волновых пакетов или гауссовых волновых пучков). Основной геометрический объект в таких задачах - расслоение с базой - изотропным многообразием в вещественном фазовом пространстве и слоями - плоскостями (комплексным ростком) в комплексифицированном фазовом пространстве. Строятся новые представления канонического оператора с комплексным фазами, аналогичные предложенным недавно С.Ю.Доброхотовым, В.Е.Назайкинским и А.И.Шафаревичем для вещественного канонического оператора, позволяющие избежать перехода в не очень эффективную в практических приложениях импульсно-координатную систему координат, что обычно необходимо делать при применении канонического оператора в стандартном виде. Практическим результатом является получение более простых для конкретных вычислений выражений. В некоторых случаях возможно эффективное представление асимптотических решений в виде специальных функций.

• Квазиклассические асимптотики осциллирующего туннелирования для квадратичного гамильтониана на алгебре su(1,1) (София Румянцева, 22.06.2022, 18-00, онлайн в zoom)

Будет представлена совместная с Е.В. Выборным работа, в которой рассмотрена задача построения квазиклассических асимптотик туннельного расщепления спектра оператора, заданного на неприводимом представлении алгебры Ли $su(1,1)$. Предполагается, что оператор является квадратичной функцией от образующих алгебры.  Представлены когерентные состояния и когерентное унитарное преобразование, которое позволяют свести задачу к рассмотрению дифференциального оператора второго порядка в пространстве голоморфных функций. В работе построены квазиклассические асимптотические спектральные серии и соответствующие волновые функции в виде разложений по когерентным состояниям. При определенных параметрах системы, минимальная энергия отвечает паре невырожденных положений равновесия, а дискретный спектр оператора имеет экспоненциально малое туннельное расщепление уровней. Применяя комплексный метод ВКБ, в работе доказаны асимптотические формулы для туннельного расщепления энергий. Показано, что в отличие от одномерного оператора Шредингера, туннельное расщепление в данной задаче не только экспоненциально убывает, но также содержит осциллирующий множитель, что можно интерпретировать как интерференцию туннелирования по различным инстантонам. Показано также, что при определенных значениях параметров возникает полное подавление туннелирования и двукратное вырождение части уровней спектра, что нетипично для одномерных систем.

• Гипергеометрическая функция Лауричеллы и ее приложение (Безродных Сергей Игоревич, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН, 27.01.2022, 17-00, онлайн в zoom)

Аннотация доклада (PDF, 41 Кб) 

 

---

Заседания семинара в осеннем семестре 2021 года:

• "Критерии интегрируемости для нелинейных осцилляторов" (Дмитрий Синельщиков, 17.11.2021, 17-00, онлайн в zoom)

Рассматриваются семейства автономных и неавтономных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, разрешенных относительно старшей производной и не более чем кубических относительно первой производной. Обсуждаются задачи эквивалентности, в частности для уравнений типа Пенлеве, для рассматриваемых семейств уравнений, где в качестве преобразований эквивалентности используются нелокальные преобразования. Показано что решение данных задач приводит к построению новых критериев интегрируемости для рассматриваемых семейств уравнений. Отметим, что для каждого из представителей построенных классов эквивалентности можно получить общее решение в параметрическом виде, а в случае автономных нелокальных преобразований, автономный первый интеграл в параметрическом виде. Также обсуждается существование явного представления для первых интегралов, множителей Якоби и инвариантных кривых у построенных семейств уравнений. Результаты иллюстрируются новыми примерами интегрируемых автономных и неавтономных нелинейных осцилляторов, в частности рассмотрены обобщения уравнения Рэлея и Дуффинга-Ван дер Поля, уравнения, возникающие как редукция к переменным бегущей волны для уравнений реакции-диффузии и некоторые другие примеры.

---

Заседания семинара в осеннем семестре 2020 года:

• Пространственно локализованные решения уравнения Гросса–Питаевского с периодически модулированной нелинейностью (М.Е. Лебедев, Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН, 21.12.2020, 18-00, онлайн в zoom) 

Аннотация доклада Лебедева М.Е. (PDF, 57 Кб) 

Презентация доклада Лебедева М.Е. (PDF, 4.04 Мб) 

---

Заседания семинара в весеннем семестре 2020 года:

• Анализ диссипативности явных линеаризованных разностных методов c регуляризацией для уравнений газовой динамики (Тимофей Ломоносов, 22.05.2020, 17-00)

 Исследуется диссипативность линеаризованных явных разностных методов с квазигазодинамической и квазигидродинамической регуляризациями для уравнений газовой динамики. Разработан вариант спектрального подхода для анализа 𝐿^2-диссипативности явных двухслойных разностных схем как с конвективными, так и с вязкими слагаемыми, с учётом коммутаторов их матриц. С его помощью впервые выведены критерии и более простые как необходимые, так и достаточные условия L^2-диссипативности указанных разностных методов при любом фоновом числе Маха M и общих предположениях о параметрах методов.

• Суперпозиция в задачах анализа данных(Сергей Швыдун, 06.05.2020, 17-00)

Одной из важнейших характеристик процедур индивидуального, коллективного и многокритериального принятия решений является их вычислительная сложность. К сожалению, большинство существующих процедур имеют высокую вычислительную сложность, что приводит к необходимости применения приближенных способов выбора или также разработке новых методов принятия решений. Одним из вариантов решения данной проблемы является применение моделей, основанных на принципе суперпозиции, который заключается в последовательном применении (композиции) различных процедур таким образом, что результаты применения одной процедуры идут на вход другой процедуре. В рамках доклада рассматриваются двухступенчатые модели суперпозиции, порожденные многокритериальными процедурами выбора. Исследуются свойства данных моделей, которые характеризуют устойчивость полученных результатов при изменении исходного множества вариантов, а также их оценок по различным критериям. Оценена вычислительная сложность моделей и проведено тестирование некоторых из них на сгенерированных случайным образом данных. Наконец, разработаны модели суперпозиции, показывающие высокую эффективность в задаче предсказания торнадо, задаче поиска, а также задаче распределения спорных территорий в Арктике. 

Метод синтеза субоптимальных управлений для неопределенных нелинейных динамических систем (Анна Преснова, 18.03.2020, 16-40, ауд. 210)

В работе рассмотрена проблема оптимального и субоптимального управления нелинейными неопределенными системами, представимыми, с помощью метода расширенной линеаризации, в виде объектов с линейной структурой с параметрами, зависящими от состояния. Преобразованная в линейный вид исходная система и квадратичный функционал качества позволяют при синтезе оптимального управления перейти от необходимости поиска решений уравнения Гамильтона-Якоби к уравнению типа Риккати с параметрами, зависящими от состояния. Основная проблема реализации оптимального управления связана с проблемой поиска решения такого уравнения в темпе функционирования объекта. В работе предложен алгоритмический метод параметрической оптимизации регулятора, основанный на использовании необходимых условий оптимальности рассматриваемой системы управления. Построенные алгоритмы могут использоваться как для оптимизации самих нестационарных объектов, если для этой цели выделены соответствующие параметры, так и для оптимизации всей управляемой системы с помощью соответствующей параметрической настройки регуляторов. Эффективность разработанных алгоритмов продемонстрирована на примере медикаментозного лечения пациентов при наличии ВИЧ. 

• Обобщенные теоремы вириала для квантовых систем (Алексей Соколик, 20.02.2020, 16-40, ауд. 202)

 В квантовой механике теорема вириала, связывающая между собой средние кинетическую и потенциальную энергии системы частиц, вытекает из анализа поведении системы при ее масштабных преобразованиях. При наложении на волновую функцию граничных условий гамильтониан системы становится, вообще говоря, неэрмитовым, из-за чего в теореме вириала появляется дополнительный член, связанный с давлением на границе. В том же случае, когда рассматриваются не обычные массивные, а безмассовые дираковские электроны, встречающиеся в графене и других дираковских материалах, в теореме вириала появляется еще один аномальный член, связанный с обрезанием по импульсу. Будет детально показано, как в квантовых системах обычных и безмассовых электронов связаны между собой масштабные преобразования, теорема вириала, поведение волновой функции на границе, тензор напряжений и давление.

•  Скалярные законы сохранения, особенности типа мембраны и приложения (Борис Андреянов, Université de Tours, France, 13.01.2020 г., 16-30, ауд.210)

Рассматриваются гиперболические задачи типа модели Lighthill-Whitham-Richards в моделировании транспортных потоков или Buckey-Leverett в моделировании течения жидкости в пористой среде, в которых добавлена точечная особенность функционирующая как активная граница (назовём её условно мембраной). Простейший случай - условия Кирхгофа на мембране, где из одной части области в другую передаются значение потока и сохраняемой неизвестной; они соответствуют классическому пределу исчезающей вязкости. Более хитрые условия на мембране позволяют моделировать «oil trapping » на разделе геологических слоёв, точечные препятствия или ограничения скорости на дорогах, эвакуацию толпы через узкий выход,... Математическая теория основана на обобщении энтропийного подхода С.Н. Кружкова, а аппроксимация решений на практике осуществляется монотонными разностными схемами адаптированными к неклассическим условиям на мембране.

---

Заседания семинара в осеннем семестре 2019 года:

• Критические явления в случайных экспоненциальных графах. (О. Вальба, 09.10.2019, 16-00, ауд. 402)

Экспоненциальные случайные графы в настоящее время широко применяются для анализа сложных сетей. Такие модели, по существу, описывают канонический ансамбль случайных сетей с заданным числом вершин. Ранее различными авторами было показано существование фазовых переходов в моделях two-star и Штрауса, сделаны аналитические оценки фазовых кривых в приближении среднего поля. Мы рассматриваем семейства экспоненциальных случайных графов с различными ограничениями, обсуждаем формирование кластеров в случайных сетях и эффекты конечного размера.  

• Modeling ionic transport through charge-selective solid: Concentration polarization, overlimiting conductance and hydrodynamic instability. Theory and Experiment. (Boris Zaltzman, Ben-Gurion University of the Negev, 21.10.2019, 17-00, ауд. 403)

Interfacial micro-scale flows commonly arise upon a DC current passage from an electrolyte solution into a charge selective solid, such as an electrode, ion exchange granule or bed, membrane or gel, or array of nanochannels. 

Under conditions of extreme diffusion limitation (concentration polarization near the limiting current), these flows provide an efficient additional ionic transport mechanism in the diffusion layer at the solid/liquid interface. On the relevant short length scale these flows are driven primarily by the electric force acting upon the space charge of the interfacial electric double layer. The resulting slip-like flow is known as electro-osmosis. In our study we developed a theory of nonequilibrium electroosmotic slip relevant for extreme diffusion limitation conditions. Based on this theory, we studied a stability of quiescent conduction through a planar charge selective interface and predicted the onset of a symmetry breaking instability above a certain voltage threshold. The original motivation for our study was to search for explanation of the phenomenon of overlimiting conductance through charge-selective electrodialysis membranes. Our major finding, besides its contribution to understanding of a fundamental object of interface science: electric double layer under current and instability of quiescent conduction into a charge selective solid, is of potential importance for applications in electrochemistry and microfluidics (intensification of ionic mass transport near the electrodes), dynamics of microbatteries, high current electrodialysis and electrodionization.

• Дробно-степенные ряды и интегрируемость алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (М. Белова, 20 ноября 2019, 16-30, ауд. 402)

Доклад посвящен проблеме построения первых интегралов для алгебраических обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Известно, что знание всех неприводимых алгебраических и экспоненциальных инвариантов позволяет находить первые интегралы, являющиеся функциями Лиувилля. Такие первые интегралы чрезвычайно важны с прикладной точки зрения, поскольку они являются не некоторой математической абстракцией, а представляют собой конечные суперпозиции алгебраических функций, квадратур и экспоненциальных функций. Для построения и классификации алгебраических инвариантов может с успехом применяться метод дробно-степенные рядов. Основная идея метода состоит в использовании разложения алгебраических инвариантов на множители в алгебраически замкнутом поле дробно-степенных рядов. Планируется детально рассмотреть алгоритм метода, а также некоторые примеры, интересные с прикладной точки зрения. В частности, мы остановимся на вопросе построения инвариантов и первых интегралов для нелинейных осцилляторов Дуффинга и Дуффинга – Ван-дер-Поля.

• Об усредненных уравнениях фильтрации в двух областях с общей границей (А. Мейрманов, МТУСИ, 09 декабря 2019 г., 16-30, ауд. 402)

Рассматривается начально-краевая задача, описывающая фильтрацию слабо вязкой жидкости в двух различных пористых средах с общей границей. Доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения задачи о совместном движении двух несжимаемых упругих поро-упругих тел с различными постоянными Ламе, с различной микроструктурой и вязкой несжимаемой поровой жидкости на микроскопическом уровне. При различных предположениях на данные задачи выводятся усредненные модели фильтрации несжимаемой слабовязкой жидкости в двух различных пористых упругих или абсолютно твердых средах, имеющих общую границу. После усреднения перемещения упругого скелета в каждой из областей подчиняются усредненным уравнениям Ламе и условиям непрерывности предельных перемещений и нормальных напряжений на общей границе, а движение жидкости в каждой из областей описывается своим законом Дарси. При этом на общей границе выполнены условия непрерывности нормальных компонент для скорости жидкости. Не достает еще одного скалярного краевого условия, и оно будет зависеть от структуры общего порового пространства. А именно, для связного общего порового пространства (есть переток жидкости из одной области в другую и обратно) будет непрерывным давление, а для несвязного общего порового пространства (нет перетока жидкости из одной области в другую и обратно) нормальная компонента вектора скорости будет равна нулю.

Заседания семинара в весеннем семестре 2019 года:

• Механизмы специфического распознавания и передачи информации в биомолекулярных системах (А. Полянский, 30.01.2019, 17-15, ауд. 207)
• Следы интегральных операторов Фурье на подмногообразиях и их приложения (П. А. Сипайло, 13.03.2019, 17-00, ауд. 201)   Аннотация
• Изучение влияния входных осцилляций на поведение моделей рабочей памяти (Н. Новиков, 29.04.2019, 18-00, ауд. 201)

Основным нейрональным субстратом рабочей памяти является самоподдерживающаяся спайковая активность нейронов, возникновение которой часто моделируется как переход бистабильной сети нейронов из фонового состояния в активное. Помимо подъема частоты спайков, в период удержания информации в рабочей памяти повышается мощность коллективных осцилляций в бета-диапазоне (15-30 Гц). В данной работе рассматриваются гипотетические механизмы стабилизации активного состояния сети за счет подачи на ее вход бета-осцилляций из внешнего источника.

• Модели специализации в многоклеточных системах (Д. Тверской, 20.05.2019, 18-00, ауд. 201)

Работа посвящена разработке математических моделей возникновения специализации в многоклеточных системах. Под многоклеточными понимаются системы, состоящие из конечного числа элементов, где каждый элемент может выполнять одну или несколько функций из указанного набора так, что увеличение выполнения элементом одной из функций приводит к уменьшению выполнения этим элементом хотя бы одной другой функции. Многоклеточные системы широко распространены в эволюционной биологии, социальной антропологии, экономической теории. Предложены модели, позволяющие выявить, каким образом факторы внешней среды, позиционные эффекты и вид ограничений модели (как структурных, так и ресурсного) оказывают влияние на возможность возникновения специализации в многоклеточной системе. Полученные результаты проиллюстрированы на модельных примерах. Приведена интерпретация результатов с точки зрения эволюционной биологии.

• Решенные и нерешенные проблемы электрохимического осаждения нанонитей в поры оксида алюминия (Д. А. Бограчев, доцент МИЭМ НИУ ВШЭ, с.н.с. ИФХЭ РАН им А.Н. Фрумкина, 30.05.2019, 12-10, ауд. 402 и 19.06.2019, 17-00, ауд. 309)

Доклад посвящен теоретическим задачам, возникающим при анализе электрохимического осаждения нанонитей (nanowires). В докладе дается краткий обзор проблем массопереноса и методов их решения в электрохимических системах, обсуждаются особенности массопереноса, связанные с наличием периодической структуры нанопор в темплате из анодированного оксида алюминия. Также рассматриваются задачи устойчивости осаждения как в массив нанопор, так и в одиночную пору. Кроме того, в рамках доклада обсуждается задача электрохимического осаждения гетероструктур в нанопоры.

Заседания семинара в осеннем семестре 2018 года:

 

• Отчет деятельности научного коллектива лаборатории "Математические методы естествознания" по проекту "Методы моделирования сложных систем" за 2018 год (19.10, в 15-00, ауд. 433)

 Заседания семинара в весеннем семестре 2018 года:

• Асимптотические методы моделирования обтекания поверхностей жидкостью или газом (Р. Гайдуков, 16 мая)
• Математическое описание туннельных эффектов. Квазиклассическое приближение для разностных уравнений на примере задачи о туннелировании спина (Е. Выборный,  23 мая)
• Квантовые многочастичные эффекты в графене в сильном магнитном поле (А. Соколик, 30 мая)
• Функциональные методы моделирования систем многих частиц с электростатическими взаимодействиями (Ю. Будков, 6 июня)

Планируемые доклады:

• Метод слабой асимптотики для нелинейных дифференциальных уравнений (В. Данилов)
• Механика на графах (А. Шафаревич)
• Модели статистических явлений в сложных сетях (О. Вальба)